Un enfoque basado en redes neuronales para resolver la ecuación de onda de difusión fraccional en el tiempo

Área de la Ciencia:

• Matemáticas Computacionales; Matemáticas Aplicadas; Análisis Numérico

Sus antecedentes:

• La ecuación de onda de difusión fraccional en el tiempo (TFDWE) modela fenómenos complejos en diversas disciplinas científicas.
• Resolver la TFDWE, especialmente con derivadas de Caputo de orden α (1 < α < 2), presenta importantes desafíos numéricos.
• Los métodos numéricos existentes pueden tener dificultades con dominios irregulares y problemas de alta dimensionalidad.

Objetivo del estudio:

• Desarrollar y aplicar un nuevo marco de red neuronal profunda (DNN) para resolver la TFDWE.
• Implementar un esquema numérico para aproximar la derivada de Caputo con precisión O(t^{3-α}).
• Validar el enfoque DNN en dominios irregulares bidimensionales utilizando el algoritmo de optimización Adam.

Principales métodos:

• Se diseñó un modelo estructurado de red neuronal (NN) multicapa con capas de entrada, ocultas y de salida.
• Se formuló una solución de prueba como la suma de un término que satisface la condición y un término de salida de la NN.
• Se utilizaron el algoritmo de retropropagación y el descenso de gradiente para entrenar la NN minimizando una función de pérdida.

Principales resultados:

• El marco DNN propuesto resolvió con éxito la TFDWE en dominios irregulares.
• Se analizó la convergencia del algoritmo de descenso de gradiente para la TFDWE.
• Los experimentos numéricos demostraron la eficacia del enfoque, comparando las funciones de activación Sigmoide y ReLU.

Conclusiones:

• El enfoque DNN desarrollado proporciona un método eficaz y preciso para resolver la ecuación de onda de difusión fraccional en el tiempo.
• El uso de la optimización Adam mejora el rendimiento de la red neuronal.
• El estudio valida la capacidad de la DNN para manejar ecuaciones diferenciales fraccionales complejas en dos dimensiones.