Esquemas de JKO con costos generales de transporte

Área de la Ciencia:

• Análisis Numérico Análisis Numérico
• La geometría diferencial es una geometría diferencial.
• Procesos estocásticos Procesos estocásticos.

Sus antecedentes:

• El esquema JKO es una discretización temporal para los flujos de gradiente de Wasserstein.
• La distancia de Wasserstein puede ser computacionalmente intensiva en las variedades.
• Las ecuaciones de Fokker-Planck modelan los procesos de difusión.

Objetivo del estudio:

• Para generalizar el esquema JKO utilizando costos de transporte arbitrarios en los colectores.
• Para establecer la convergencia con la ecuación de Riemannian Fokker-Planck.
• Para explorar alternativas computacionales a la distancia de Riemann.

Principales métodos:

• Modificación del esquema JKO reemplazando la distancia Wasserstein con los costos generales de transporte.
• Análisis de las propiedades de convergencia en condiciones de Hessian de la función de costo.
• Aplicación a las ecuaciones de Fokker-Planck en variedades riemannianas compactas y completas.

Principales resultados:

• Convergencia del esquema JKO modificado a la ecuación de Fokker-Planck de Riemann cuando el costo induce una métrica de Riemann.
• Demostración de aplicabilidad en submanifolds compactos con condiciones límite de Neumann y variedades Riemannianas completas.
• Aplicación exitosa a las variedades de Hesse usando la divergencia de Bregman como costo.

Conclusiones:

• El esquema generalizado JKO proporciona un marco flexible para discretizar los flujos de gradiente en los colectores.
• Este enfoque ofrece beneficios computacionales cuando la distancia riemanniana es intratable.
• El método conecta de manera efectiva el transporte óptimo, el análisis geométrico y los métodos numéricos.