トポロジカルデータ分析とトポロジカルディープラーニング：パーシステントホモロジーを超えて：レビュー

科学分野:

• 応用数学
• データサイエンス
• トポロジー

背景:

• トポロジカルデータ分析（TDA）は、データインサイトのためにトポロジーを使用します。
• パーシステントホモロジーは主要なTDA技術であり、トポロジカルディープラーニング（TDL）と組み合わせて使用されることがよくあります。
• パーシステントホモロジーの限界には、抽象化とデータ型の制限が含まれます。

研究 の 目的:

• パーシステントホモロジーを超えたTDAおよびTDLの包括的なレビューを提供すること。
• 複雑なデータ分析のための高度なトポロジカル手法を分析すること。
• さまざまなデータ型に適したトポロジカルツールの選択をガイドすること。

主な方法:

• スペクトル表現のためのパーシステントトポロジカルラプラシアンおよびディラック演算子のレビュー。
• ひも理論、メイヤーのトポロジー、相互作用トポロジーの定式化の探求。
• パーシステントド・ラムコホモロジーおよびホッジ分解を含む、多様体データのための微分トポロジー技術の議論。
• パーシステントジョーンズ多項式およびコバノフホモロジーなどの1次元曲線のための幾何学的トポロジーアプローチの分析。

主要な成果:

• 高度なTDAおよびTDL手法は、トポロジカル不変量とホモトピック進化を捉えます。
• 点群、シーケンシャルデータ、多様体、曲線を含む多様なデータのための技術が提示されます。
• データ特性に基づいた適切なトポロジカルツールの選択に関するガイダンスが提供されます。
• トポロジカル表現、ソフトウェア、機械学習ベクトル化のレビューが含まれます。

結論:

• このレビューは、パーシステントホモロジーを超えてTDAおよびTDLの範囲を拡大します。
• 高度なトポロジカル手法は、複雑で多様なデータセットを分析するための強力なツールを提供します。
• 調査結果は、さまざまな科学的および産業的ドメインでのTDAおよびTDLの効果的なアプリケーションを促進します。